第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知复数，则等于
     (A)            (B)          (C)           (D) 
【答案】：B
（2）设集合
(A) (B)        (C)          (D) 
【答案】：A
（3）已知函数的图象过点，则的图象的一个对称中心是
(A) (B) (C) (D) 
【答案】：B
（4）下列四个结论：
①命题“”的否定是“”；
②命题“若”的逆否命题为“若”；
③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
④若，则恒成立.
其中正确结论的个数是
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
【答案】：C
（5）已知函数是函数的导函数，则的图象大致是
(A) (B)               (C)               (D) 
【答案】：A
（6）如图是一个算法的流程图．若输入的值为，则输出的值是
 (A)      (B)        (C) (D) 
【答案】：C
（7）已知函数的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是
A.   B.   C.    D.
【答案】：D
（8）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为
 (A) 432 (B) 288 (C) 216 (D) 144
【答案】：B；法一：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有种．先排3个奇数：①若1排在左端，方法有种；则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有种，另一个偶数插在2个奇数形成的3个空中，方法有种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有种．②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种，③若1排在中间，方法有种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有种．综上，满足条件的六位数共有 72+72+144=288种，故选B；法二：．
（9）已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是
 (A) (B) (C) (D) 
【答案】：A
（10）已知双曲线的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为
 (A) (B) (C) (D)  
【答案】：B
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
（11）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为               ．
【答案】：
第11题图
（12）若，函数有相同的最小值，则
___________．
【答案】：
（13）设是单位向量，且的最大值为________．
【答案】：
（14）在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：
（Ⅰ）对任意，； 
（Ⅱ）对任意，．
关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为．
其中所有正确说法的序号为           ．
【答案】：①②
（15）已知函数，点O为坐标原点，点，向量是向量与的夹角，则的值为__________.
【答案】：
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
（16）（本小题满分12分）
设向量，，其中，，函数
的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.
（Ⅰ）求函数的表达式；
（Ⅱ）在中，角A，B，C的对边分别是，若，
且，求边长．
解：解：（I）因为，     -----------------------------1分
     由题意，       -----------------------------3分
将点代入，得，
所以，又因为  -------------------5分
即函数的表达式为．    ---------------------6分
（II）由，即
又                       ------------------------8分
由 ，知，
所以                                       -----------------10分
由余弦定理知   
所以      ----------------------------------------------------12分
（17）（本小题满分12分）
在四棱锥中，平面，是的中点，
 ,, .
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
解：（Ⅰ）取的中点,连接,,

则∥.
因为
所以.………………………………1分
因为 平面，平面 
所以 
又  
所以 ⊥平面    ……………………………………………………………3分
因为平面,所以 ⊥；
又 ∥，所以 ；
又因为 , ；
所以 ⊥平面 ……………………………………………………………5分  
因为平面，所以    …………………………6分
（注：也可建系用向量证明）
（Ⅱ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 
则,,，,,
，.  
………………………………………………8分
设平面的法向量为，则  所以
令.所以.                   ……………………9分
由（Ⅰ）知⊥平面,平面,所以⊥.
同理⊥.所以平面
所以平面的一个法向量 .   …………………10分
所以，             ……………………11分
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．       ……………………12分
（18）（本小题满分12分）
某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．
根据以往的比赛情况统计：

注：各队之间比赛结果相互独立．
（Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；
（Ⅱ）设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）
解析：
（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A1、A2、A3，乙队胜、平、负丁队为事件B1、B2、B3．
则==，=；===；…………2分
设乙队最后积4分为事件C，
则=．…………………4分
（Ⅱ）随机变量X的可能取值为：7，5，4，3，2，1．………………5分

随机变量X的分布列为：

………………………………………………8分
．……………10分
（Ⅲ）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．……………12分
当乙队积5分时，丙队或丁队的得分可能为4，3，2，1，乙队为小组第2出线；
当乙队积4分时，丙队或丁队均有可能为6分或4分，不能确保乙队出线；
（19）（本小题满分12分）
下表是一个有正数组成的数表，数表中各列依次成等差数列，各行依次成等比数列，且公比都相等.已知，，.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前和.
解：(Ⅰ)设第一列依次组成的等差数列的公差为，
 设第一行依次组成的等比数列的公比为，
则                     ………………………………4分
解得：，因为等差数列是正数数列，所以，  …………5分
当为偶数时                    ………………………………11分
当为奇数时                 ………………………………12分
（20）（本小题满分13分）
已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）经过点M(－2，－1)，离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；
（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．
解：（Ⅰ）由题设，得＋＝1，①
且＝， ②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，
椭圆C的方程为＋＝1．    …………………………………………………3分
（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得
(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，
同理得x2＝．………………………………………………………6分
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
故kPQ＝＝＝＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值． ……………………………………………………9分

（Ⅲ）（方法一）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，k＝±1．…………………………11分
若k＝1，则直线MQ方程y＋1＝－(x＋2)，
与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0，
该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；
同理，若k＝－1也不合题意．
故∠PMQ不可能为直角．…………………………………………………………13分
（方法二）由（2）直线PQ的斜率为1，设其方程为
假设为直角，则由得………………………………11分
所以直线PQ的方程为
因为点M（-2，-1）在直线上，即点Ｐ或点Ｑ中有一点与点Ｍ重合，不符合题意．
所以不可能为直角．………………………………13分
（21）（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）证明：当，时，； 
（Ⅱ）若，讨论在上的单调性；
（Ⅲ）设，比较与的大小，并加以证明．
解：（Ⅰ）当时，，……1分
所以时，，在上单调递增， 
又， ；
结论得证．………………………………………………………4分
（Ⅱ）由题设，．…………………5分
① 当，即时，
则在上是增函数．…………………7分

00001. ② 当，即时，

有时，在上是减函数；
时，在上是增函数．……9分
综上可知，当时， 在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数．……10分
（Ⅲ），证明如下：
方法一：上述不等式等价于＋＋…＋n＋1)，
由（Ⅰ），可得ln(1＋x)>，x>0.
令x＝，n∈N＋，则
下面用数学归纳法证明．
① 当n＝1时，
②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋k＋1)．
那么，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋k＋1)＋k＋1)＋ln＝ln(k＋2)，
即结论成立．
由①②可知，结论对n∈N＋成立．………………………………………………………14分
方法二：上述不等式等价于＋＋…＋n＋1)，
由（Ⅰ），可得ln(1＋x)>，x>0.
令x＝，n∈N＋，则ln>.………………………………11分
故有ln 2－ln 1>，
ln 3－ln 2>，
……
ln(n＋1)－ln n>，
上述各式相加可得ln(n＋1)>＋＋…＋，
结论得证．………………………………………………………14分
方法三：如图，dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和，………………………………12分
错误！未找到引用源。来源学高考
∴＋＋…＋>dx＝
dx＝n－ln(n＋1)，
结论得证．………………………………………………………14分